랭글랜즈 프로그램

3. 대상

하리시-찬드라와 겔판트가 공식화한 '첨점 형식의 정신' 아이디어를 기반으로 구축된 랭글랜즈 프로그램은, 반단순 리 군에 대한 하리시-찬드라의 작업 및 접근 방식과 셀베르그 등의 대각합 공식을 바탕으로 한다. 랭글랜즈의 작업은 기술적인 깊이뿐만 아니라 수론과의 직접적인 연결 및 풍부한 구조 (''함자성'')를 제시했다는 점에서 새로웠다.^[19]

하리시-찬드라의 작업에서 반단순 또는 가약인 리 군에 대해 수행할 수 있는 작업은 모두에 대해 수행해야 한다는 원칙에 따라, $\backslash text\{GL\}(2)$와 같은 저차원 리 군의 역할이 인식되고 유체론에서 $\backslash text\{GL\}(1)$과 함께 $\backslash text\{GL\}(n)$에 대한 고찰이 이루어졌다.

''첨점 형식'' 아이디어는 모듈러 곡선의 첨점에서 나왔지만, 스펙트럼 이론에서 아이젠슈타인 급수의 "연속 스펙트럼"과 대조되는 "불연속 스펙트럼"으로 가시적인 의미를 가졌다. 포물선 부분 군이 더 많기 때문에 더 큰 리 군에 대해 훨씬 더 기술적으로 된다.

이러한 접근 방식에는 레비 분해에 기반을 둔 귀납적 방법 등 기술적인 방법이 많이 사용되었으며, 힐베르트 모듈러 형식, 지겔 모듈러 형식, 세타 함수와 같은 모듈러 형식이 예시로 사용되었다.

랭글랜즈 추측은 다양한 분야와 군에 걸쳐 여러 버전이 존재하며,^[20] 일부 버전은 랭글랜즈 군과 같이 존재가 불분명하거나, L-군과 같이 여러 정의가 존재하는 대상에 의존한다. 랭글랜즈 추측은 1967년 처음 제시된 이후 계속 발전해 왔다.^[3]

랭글랜즈 추측이 적용될 수 있는 대상은 다음과 같다.

• 국소체에 대한 가약군 표현 (아르키메데스 국소체, ''p''-진 국소체, 함수 체 완비 포함)
• 대역체 위의 환원군에 대한 보형 형식 (숫자 체 또는 함수 체)
• 유한 체 (랭글랜즈는 원래 고려하지 않았지만 유사점이 존재)
• 복소수에 대한 함수 체와 같은 보다 일반적인 체

• 국소체 위의 환원군의 표현. 국소체에는 아르키메데스 국소체 ('''R''' 또는 '''C'''), ''p''-진 국소체 ('''Q'''_''p''의 유한 차 확대), 함수체의 완비화 (유한체 위의 형식 로랑 급수체 ''F''((''t''))의 유한 차 확대) 등이 있다.
• 대역체 위에서 정의된 환원대수군 위의 보형 형식. 대역체에는 대수적 수체나 대수적 함수체 등이 있다.
• 유한체. 랭글랜즈는 이를 예상의 범주에 포함시키지 않았지만, 랭글랜즈 예상과 유사한 유한체에 대한 것이 존재한다.
• 복소수체 위의 함수체와 같은 보다 일반적인 체.

4. 추측

랭글랜즈 추측에는 여러 가지 형태가 있다. 다양한 분야에 걸쳐 여러 군이 존재하며, 각 분야마다 서로 다른 버전의 추측이 존재한다.^[20] 일부 랭글랜즈 추측은 모호하거나, 아직 존재가 증명되지 않은 랭글랜즈 군과 같은 대상, 또는 여러 가지로 정의될 수 있는 $L$ 군에 의존한다. 1967년 랭글랜즈가 처음 추측을 제시한 이후, 내용은 계속 발전해 왔다.

랭글랜즈 추측은 다음과 같은 다양한 대상에 대해 제시될 수 있다.

• 국소체에 대한 가약군 표현 (아르키메데스 국소체, ''p''-진 국소체, 함수 체 완비 등)
• 대역체 (수체 또는 함수 체)에 대한 환원 군의 보형 형식
• 유한체 (원래 랭글랜즈는 고려하지 않았지만, 유사한 추측이 존재함)
• 복소수 위 함수 체와 같은 보다 일반적인 체

• 국소체 위의 환원대수군의 표현. (아르키메데스 국소체, ''p''-진 국소체, 함수체의 완비화 등)
• 대역체 위의 환원대수군 위의 보형 형식. (대수적 수체, 대수적 함수체 등)
• 유한체. (랭글랜즈는 예상의 범주에 포함시키지 않았지만, 유한체에 대한 유사한 추측이 존재)
• 복소수체 위의 함수체와 같은 보다 일반적인 체.

4. 1. 상호 법칙

• 국소체: 국소체 위의 환원군의 허용 가능한 기약 표현의 L-패킷을 매개변수화할 것으로 예상된다.
• 대역체: 보형 형식을 매개변수화할 것으로 예상된다.

4. 1. 1. 보형 형식론

4. 2. 1. 일반화된 함자성

4. 3. 기하학적 추측

5. 현재 상황

• GL(1, ''K'')에 대한 랭글랜즈 추측은 유체론과 본질적으로 동일하다.
• 랭글랜즈는 실수와 복소수에 대한 랭글랜즈 분류를 통해 아르키메데스 국소체 위의 군에 대한 랭글랜즈 추측을 증명했다.
• 유한체 위의 리 유형 군의 기약 표현에 대한 루스틱의 분류는 유한체에 대한 랭글랜즈 추측의 유사체로 간주될 수 있다.
• 앤드루 와일스의 유리수체 위 반안정 타원 곡선의 모듈성 증명은 타원 곡선에서 발생하는 갈루아 표현을 모듈 형식과 관련시키는 것이 핵심 아이디어이므로 랭글랜즈 상호성 추측의 사례로 볼 수 있다. 와일즈의 결과는 여러 방향으로 일반화되었지만, $\backslash text\{GL\}(2,\backslash mathbb\{Q\})$에 대한 전체 랭글랜즈 추측은 여전히 증명되지 않았다.
• 1998년 로랑 라포르그는 함수체 ''K''에 대한 일반 선형군 $\backslash text\{GL\}(n,K)$에 대한 랭글랜즈 추측을 검증하는 라포르그 정리를 증명했다. 이는 1980년대에 $\backslash text\{GL\}(2,K)$의 경우를 증명한 드린펠트의 초기 연구를 계승한다.
• 2018년 뱅상 라포르그는 전역 함수체 위의 연결된 환원 군에 대한 전역 랭글랜즈 대응(보형 형식에서 갈루아 표현으로의 방향)을 확립했다.^[21][22]

5. 1. 국소 랭글랜즈 추측

5. 2. 기본 보조정리

6. 시사점

랭글랜즈 프로그램은 일반인은 물론이고, 이 분야를 연구하지 않는 수학자에게도 그 추상성을 이해하기 어렵다. 그러나 랭글랜즈 추측이 증명되거나 반증될 경우, 이는 수학에 강력하고 명확한 영향을 미친다.

랭글랜즈 프로그램은 해석적 정수론과 대수기하학의 일반화 사이의 강력한 연결을 가정한다. 수체의 추상 대수 표현과 해석적 소수 구성 사이의 '함자성' 아이디어는 소수 분포를 정확하게 정량화하는 강력한 함수 도구를 생성한다. 이는 디오판틴 방정식 분류와 대수함수의 추상화를 가능하게 한다.

더 나아가, 일반화된 대수의 상호 법칙이 존재하고 그들의 해석적 함수가 잘 정의된다면, 타원 곡선의 유리해, 대수적 다형체의 위상 구성, 리만 가설 등 수학에서 매우 심오한 결과들이 증명될 수 있다.^[13] 이러한 증명은 숫자 체 구조 내의 불변성과 관련된 일반화된 해석적 급수의 객체에서 추상적 해를 활용할 것으로 예상된다.

또한, 랭글랜즈 프로그램과 물리학의 M이론 사이의 연결은 쌍대성을 통해 초끈 이론에서 잠재적인 해를 제공할 수 있다고 가정된다. (이는 군론에서 가공할 헛소리를 통해 수행된 것과 유사하다.)

요약하자면, 랭글랜즈 프로젝트는 기하학적 형식에 포함된 해석 함수를 사용하여 대수 방정식의 해에서 고차 일반화를 통해 수학의 근본적인 영역을 다루는 깊고 강력한 틀을 의미한다. 이는 강력한 해석적 방법을 통해 다양한 수학 분야를 통합할 수 있게 한다.

참조

_[1] 웹사이트 Math Quartet Joins Forces on Unified Theory https://www.quantama[...] 2015-12-08
_[2] 서적 Love & Math https://archive.org/[...] 2013
_[3] 간행물 Love and Math: The Heart of Hidden Reality https://books.google[...] Basic Books
_[4] 웹사이트 Proof of the geometric Langlands conjecture https://people.mpim-[...] 2024-08-19
_[5] arXiv Proof of the geometric Langlands conjecture I: construction of the functor 2024-05
_[6] arXiv Proof of the geometric Langlands conjecture II: Kac-Moody localization and the FLE 2024-05
_[7] 웹사이트 Monumental Proof Settles Geometric Langlands Conjecture https://www.quantama[...] Quanta Magazine 2024-07-19
_[8] 웹사이트 Shtukas for reductive groups and Langlands correspondence for function fields http://www.icm2018.o[...]
_[9] 저널 Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands https://www.ams.org/[...]
_[10] conference La paramétrisation de Langlands globale sur les corps des fonctions (d'après Vincent Lafforgue) https://webusers.imj[...] 2016-01
_[11] 저널 Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie
_[12] 저널 Les débuts d'une formule des traces stable http://www.sunsite.u[...] Université de Paris
_[13] arXiv The Riemann Hypothesis over Finite Fields: From Weil to the Present Day 2015-09-02
_[14] 서적 Love & Math 2013
_[15] 간행물 Love and Math: The Heart of Hidden Reality https://books.google[...] Basic Books
_[16] 간행물 Ngô Bao Châu, sommité mondiale des maths http://lecourrier.vn[...] Le Courrier du Vietnam 2009-02-15
_[17] 간행물 Les débuts d'une formule des traces stable http://www.sunsite.u[...] Université de Paris VII U.E.R. de Mathématiques
_[18] 웹인용 Math Quartet Joins Forces on Unified Theory https://www.quantama[...] Quanta Magazine 2015-12-08
_[19] 서적 Love & Math https://archive.org/[...] 2013
_[20] 인용 Edward Frenkel Basic Books
_[21] 웹인용 Shtukas for reductive groups and Langlands correspondence for function fields http://www.icm2018.o[...] 2023-06-30
_[22] 저널 Chtoucas pour les groupes réductifs et paramétrisation de Langlands https://www.ams.org/[...]
_[23] 저널 Le lemme fondamental pour les algèbres de Lie
_[24] 저널 Les débuts d'une formule des traces stable http://www.sunsite.u[...] Université de Paris